Júnior César de Sousa [1]

 “Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis.” Descartes

A preocupação com as bases do Conhecimento foi motivo de grandes especulações no século XVII, período de grande efervescência matemática, na qual muitos filósofos eram também grandes matemáticos, como René Descartes (1596-1650), Blaise Pascal (1623-1662) e Gottfried Leibniz (1646-1716). Com efeito, eles procuraram também aplicar ao método filosófico a ferramenta matemática como instrumento eficaz nos processos de aquisição do conhecimento, devido ao seu caráter rigoroso, preciso e sistemático. Não se trata aqui da realidade numérica em si, mas dos procedimentos abstrativos lógico-dedutivos que, segundo os filósofos-matemáticos eram corretos e provocavam um pensamento ordenado e isentos de dúvidas finais. Esta visão da contribuição dos métodos matemáticos já era vislumbrada pelos filósofos gregos (especialmente Platão), que, em alguns escritos, nos falam sobre a confiabilidade das entidades e relações numéricas frente à problemática da desconfiança nos sentidos.

Com efeito, percebe-se a clara vertente de um racionalismo matemático no método cartesiano, que tem resquícios até a contemporaneidade ao se afirmar que somos seres cartesianos, isto é, pessoas humanas que querem se pautar somente naquilo que a razão consegue abarcar ou pode abarcar.

1 A relevância do conhecimento matemático na filosofia cartesiana

No livro Princípios de Filosofia, Descartes nos diz que

[…] o filósofo representa a unificação do conhecimento por meio da imagem da “árvore do saber”, na qual as raízes são a metafísica, o tronco é a física e os ramos são a mecânica, a medicina e a moral. […] A possibilidade de unificar o conhecimento, isto é, de construir uma ciência universal, dependeria de encontrar o fundamento comum a todas as ciências particulares […] a mathesis universalis, ou matemática universal. […] [Descartes] se utilizou da concepção […] proposta por Galileu (1564-1642), que dizia que a natureza está escrita em linguagem matemática. Assim, Descartes construirá seu método de investigação calcado no modelo matemático de demonstração. (CHALITA, 2006, p. 234)

O matemático e filósofo francês René Descartes inaugurou a dúvida metódica, isto é, deve-se suspender o juízo a princípio e, colocar a dúvida sob o crivo de um método capaz de conduzir a uma certeza clara e distinta. A dúvida era para ele fato primordial para a investigação acerca da veracidade do conhecimento, e quem duvida, segundo Descartes, pensa, e se alguém pensa, dá-se conta de sua existência como ser pensante (Daí a sua máxima: “Cogito, ergo sum”- “Penso, logo existo!”).

Descartes cria então um método [2] (posteriormente chamado de método cartesiano) para se sujeitar à dúvida e chegar a um conhecimento verdadeiro. Tal método, baseado na geometria, consiste basicamente nos processos de: verificação, análise, sintetização e enumeração dos problemas. Para aprender o método faz-se necessário conhecer a ciência matemática e todo seu arsenal demonstrativo.  O fato é que a partir da sujeição à dúvida a métodos racionais conseguir-se-ia alcançar uma verdade, a verdade do conhecimento como realidade. René Descartes percebe, então, que, nas matemáticas, há a possibilidade real de encontrarmos um conhecimento livre de obscuridades e, por conseguinte, aceito como certo [3]. Isso é confirmado no §7 da Meditação I de Descartes:

A Física, a Astronomia, a Medicina e todas as outras ciências dependentes da consideração das coisas compostas são muito duvidosas e incertas; mas que a Aritmética e a Geometria e as outras ciências desta natureza, que não senão de coisas muito simples e muito gerais, sem cuidarem muito se elas existem ou não na natureza, contem alguma coisa de certo e indubitável. Pois, quer que eu esteja acordado, quer esteja dormindo, dois mais três formarão sempre o número cinco e o quadrado nunca terá mais do que quatro lados; e não parece possível que verdades tão patentes possam ser suspeitas de alguma falsidade ou incerteza. (1979, p. 87)

Este argumento do sonho nos leva a confrontar que muitas representações oníricas são muito semelhantes às experiências reais e vivenciadas, isto é, às vezes temos sonhos que parecem realidade. Tais representações (sonhos) são imagens fictícias (imaginárias). Isso acontece especialmente com as coisas e ciências que necessitam da realidade objetiva para se sustentarem, ou seja, a ideia precisa de um meio material para ser apreciada, diferentemente das ciências naturais (Matemáticas) que são puramente abstrativas (simples e gerais) não necessitando de meios a posteriori para existirem. Com efeito, tais ciências matemáticas não podem nos enganar, pois independentemente da realidade objetiva ou subjetiva eles serão sempre imutáveis.

Graças à extensão deste raciocínio, da não falseabilidade e da certeza, Descartes chega à compreensão da não possibilidade de um Deus enganador. Este argumento que nos é apresentado tentar ruir com as certezas matemáticas. Segundo o filósofo, supõe-se que exista um Deus Criador que nos levou a acreditar na existência de um mundo externo quando na verdade este não existiria e que as realidades nas quais se acreditava não passavam de ilusões, sendo fruto da mente deste Deus enganador. Tal dúvida, denominada dúvida metafísica não pode, segundo Descartes, ser sustentada uma vez que Deus sendo perfeito e fonte de toda verdade não pode enganar (atributo de imperfeição), consequentemente crê que suas ideias podem ser de fato claras e distintas.

De forma sutil, Descartes vai associando as evidências do método matemático à sua filosofia., dando-lhe um caráter mais confiável e com bases mais sólidas, a partir das quais, pudesse caminhar com segurança. Este é um traço muito característico da modernidade: a agregação da ciência matemática (com todo seu arcabouço raciocinativo-demonstrativo) à ciência filosófica. Assim, como Platão, Descartes não via a matemática como um fim último de sua filosofia, mas como meio (método) para se alcançar um objetivo, a matemática [4] é, em sua visão, o caminho que subjaz toda e qualquer tentativa de se obter um conhecimento seguro.

O método cartesiano é inspirado nos procedimentos geométricos como afirma o próprio Meditador:

Aquela longa cadeia de raciocínios, todos simples e fáceis, de que os geômetras têm o hábito de se servirem para chegar às suas difíceis demonstrações me possibilitaram imaginar que todas as coisas de que o homem pode ter conhecimento derivam do mesmo modo e que, desde apenas que se abstenha de aceitar como verdadeira uma coisa que não o é e respeite sempre a ordem necessária para deduzir uma coisa da outra, não haverá nada de tão distante que na possa alcançar nem de tão oculto que não possa descobrir. (apud REALE; ANTISERI, 2005, p. 357)

O seu método consiste basicamente em quatro etapas [5], regras ou preceitos, conforme o que Descartes nos diz em sua obra Discurso do Método:

O primeiro era o de jamais acolher alguma coisa como verdadeira que eu não conhecesse evidentemente como tal; isto é, de evitar cuidadosamente a precipitação e a prevenção, e de nada incluir em meus juízos que não apresentassem tão clara e distintamente a meu espírito, que eu não tivesse nenhuma ocasião de pô-lo em dúvida. O segundo, o de dividir cada uma das dificuldades que eu examinasse em tantas parcelas quanto possíveis e quantas necessárias fossem para melhor resolvê-las. O terceiro, o de conduzir por ordem meus pensamentos, começando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, para subir, pouco a pouco, como por degraus, até o conhecimento dos mais compostos, e supondo mesmo uma ordem entre os que não procedem naturalmente uns dos outros. E o último, o de fazer em toda parte enumerações tão completas e revisões tão geraria, que eu tivesse a certeza de nada omitir.” (1979, p. 38)

Percebe-se, nitidamente, no método cartesiano a influência direta do método resolutivo dos problemas matemáticos mediante uma cadeia lógica de raciocínios [6].  Primeiro evidenciamos (ou verificamos) o problema, posteriormente analisamos e ordenamos (sintetizamos) e por fim, realizamos a revisão de todo processo resolutivo, mediante as enumerações, chegando a um resultado correto e confiável. Analogamente, a resolução dos problemas de cunho matemático, nos quais, primeiramente expomos o problema sem emitir juízos a princípios, depois o analisamos a partir daquilo que já conhecemos, e, iniciamos a estratégia resolutiva, a partir dos dados mais simples até chegar a uma solução, que será reanalisada, isto é, revisaremos todo procedimento, afim, de detectar possíveis falhas (prova final).  Descartes, como se percebe, queria estabelecer um método universal aplicável a todas as ciências e que pudesse resolver problemas de qualquer natureza. Pretensão esta criticada posteriormente por Blaise Pascal.

2 Contribuições cartesianas para as ciências matemáticas

Relata-se que desde a época em que estudava no colégio jesuíta de La Fleche, René Descartes nutria forte apreço pelas ciências matemáticas, dedicando-se com maior afinco ao seu estudo, embora cresse que aquilo que lhe era oferecido no colégio era muito pouco. “Comprazia-me sobretudo com as Matemáticas, por causa da certeza e da evidência de suas razões [seus raciocínios]”. (DESCARTES, Discurso do método, I, p.32). Posteriormente, mesmo servindo ao exército, Descartes se dedicava ao estudo das ciências filosóficas e matemáticas.

A obra em que René Descartes se dedica mais profundamente ao estudo da Matemática é um anexo [7] ao Discurso do Método, denominado Geométrie (1638) no qual ele procura ilustrar matematicamente suas considerações acerca de seu método.

A aplicação do seu método é apresentada em um dos três ensaios que acompanha o Discurso do Método, o [ensaio] Geometria, sua única publicação matemática. Descartes, ao associar um método algébrico à geometria e unificar tanto as notações quanto o método de dois ramos clássicos da Matemática: a Aritmética e a Geometria,cria o que atualmente chama-se Geometria Analítica.

[…] há pouca coisa que se assemelhe ao que hoje se considera como Geometria Analítica, não havendo um desenvolvimento ordenado do método analítico. O Geometria é praticamente dedicado à aplicação da álgebra à geometria e da geometria à álgebra. […] nele está o princípio fundamental da geometria analítica, ou seja, a descoberta de que equações indeterminadas em duas incógnitas correspondem a lugares geométricos.

[O ensaio] Geometria é dividido em três partes, ou, três livros: o Livro I intitulado “Problemas de Construção que requerem somente linhas retas e círculos” traz entre outras coisas alguns dos princípios gerais da Geometria Analítica além da resolução analítica do Problema de Pappus; o Livro II tem por título “Sobre a Natureza das Linhas Curvas” e contém entre outros tópicos, uma nova classificação das curvas, além da resolução geométrica do Problema de Pappus; e o Livro III intitulado “Sobre a Construção de Problemas Sólidos ou Supersólidos” inclui um amplo estudo de equações. (XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011, p.2)

No livro I da Geometria, Descartes relaciona as operações geométricas às operações aritméticas, usando apenas régua e compasso, ou seja, traduz em linguagem geométrica dados aritméticos, introduzindo o uso de letras para designar segmentos e também simplificando as operações usando do artifício do segmento unitário. Nos livros II e III da Geometria, René Descartes versa sobre a análise de curvas e das raízes de equações.  

Descartes dá uma enorme contribuição para as ciências matemáticas quando se apropria da simbolização alfanumérica (notação matemática) para a compreensão dos dados geométricos, isto é, ele inova ao “algebrizar a geometria”. Usava, por exemplo, o símbolo algébrico a+b para designar a soma de dois comprimentos de segmentos, bem como a – b para designar a diferença, a. b  para o produto e a / b para o quociente (divisão) (VAZ, p. 3-9). Também é atribuído a ele o uso das notações de potência para as incógnitas, como por exemplo, x², x³ e o uso dos sinais + e – nas equações.

Dentro deste contexto, destaca-se a grande contribuição de Descartes, principalmente para o campo matemático, que servirá de base para todo o desenvolvimento posterior da Geometria Analítica, sendo o próprio Descartes considerado o pai da Geometria Analítica. Perspicazmente, ele viu a possibilidade de se representar pontos graficamente. Reza a lenda, que como a saúde de René era muito frágil, visto seus problemas respiratórios,[8] ele ficava até mais tarde na cama, ocasião propícia para refletir sobre inúmeros problemas. Numa destas reflexões, teria se deparado com uma mosca que voava em seu quarto e percebera que aquele ponto voador podia ser representado geometricamente (espacialmente) por um conjunto de pontos. Lenda ou não, sabemos que Descartes foi um dos precursores do desenvolvimento do sistema de coordenadas, que viria posteriormente ser denominado plano cartesiano.

O plano cartesiano, como conhecemos hoje, consiste num gráfico composto por duas retas perpendiculares numeradas e que intersectam-se no ponto zero. Estes dois eixos perpendiculares são denominados de eixo das abscissas (correspondente ao eixo horizontal e também designado eixo x) e eixo das ordenadas (correspondente ao eixo vertical e também designado eixo y), ambos os eixos tendem ao infinito. A partir de pares de pontos é possível então uma representação gráfica, bidimensional (R²) como retas, ou tridimensional (R³) como sólidos, bem como curvas. O mais genial é que estas representações geométricas podem ser codificadas algebricamente na forma de equações. Graficamente,

 

Figura: acervo próprio

Esta valorosa contribuição de Descartes foi de fundamental importância para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, que teve como precursores [9] Leibniz (1646-1716) e Newton (1642-1727). Também vale mencionar que “em um tratado de 1619, De Solidorum Elementis, de Descartes, aparece a fórmula V + F = A + 2, erradamente e frequentemente atribuída a Euler (1707 – 1783), que relaciona as arestas ( A), os vértices (V) e as faces (F) de um poliedro regular.” (VAZ, p. 3).

O método cartesiano é de extrema consistência, propiciando um avanço considerável às ciências matemáticas. Reale sintetiza a importância desta inovação: “o procedimento cogitado por Descartes nos permite partir de equações de qualquer grau de complexidade desejado ou suposto e interpretar geometricamente as suas propriedades algébricas e analíticas.” (2005, p. 380). Descartes queria ao mesmo tempo codificar em linguagem algébrica as figuras geométricas e dar à álgebra uma interpretação geométrica.

3 Considerações finais

Ao término deste trabalho queremos ressaltar a importância de René Descartes para o pensamento filosófico e matemático. Ele que é considerado o pai da filosofia moderna também é considerado, por muitos, o pai da geometria analítica. Embora não querendo afirmar nenhuma das duas conclamações, queremos apenas evidenciar a grande relevância de seu pensamento para o conhecimento.

Percebemos que Descartes queria, de certa forma, matematizar a resolução dos problemas filosóficos, uma vez que via nos procedimentos matemáticos um rigor demonstrativo capaz de assegurar, em sua visão, a credibilidade acerca dos enunciados, tendo assim, evidências claras e distintas, isto é, certas, livres da dúvida, podendo seguramente assentar aí a sua filosofia.  Descartes cria, então, um método que assimila o proceder matemático (geométrico) e aplica-o a tudo aquilo que se sujeita à dúvida.

São nítidas as contribuições desse filósofo francês para as ciências, especialmente, ao conseguir traduzir em linguagem algébrica as representações geométricas e, com efeito, analisar geometricamente as equações algébricas, por meio do sistema de coordenadas.

A grande crítica a Descartes e ao seu método geométrico, feita por Blaise Pascal (1623-1662), consiste justamente no fato de que Descartes, querendo que todas as ideias fossem claras e distintas, fez do método geométrico algo obrigatório. Para Pascal, o método geométrico serve para as ciências exatas e não para todas as ciências em geral, isto é, o método cartesiano não podia ser encarado como um método universal, assim com ele almejava. Ainda segundo Pascal, Descartes, dando importância extrema à racionalidade, esqueceu-se de considerar os fatores emotivos, que, na filosofia pascaliana, ocupam um lugar de destaque. (MONDIN, 2009, p. 94)

Notas:

1. Graduando em Filosofia pela Faculdade Arquidiocesana de Mariana – FAM

² Descartes cria o método, uma vez que percebera a falta de ordenação do pensamento para a aquisição de conhecimentos indubitáveis.

³ A princípio ele criticara alguns ramos da matemática mais tradicional, porque segundo ele, careciam de uma metodologia mais clara. (Cf. REALE; ANTISERI, 2005, p. 356).

⁴ Enquanto método.

⁵ Sintetizadas a partir das 21 regras que compõe a sua obra Regras para a direção do espírito.(1628)

⁶ Combinando Geometria, Álgebra e Lógica

⁷ Uma espécie de texto complementar, no qual ele tenta ilustrar matematicamente suas considerações acerca de seu Discurso do Método.

⁸ Dos quais, culminaram na causa de sua morte, a pneumonia (em vista do grande frio da Suécia, onde veio a falecer)

⁹ independentemente e  paralelamente.

Referências

CHALITA, Gabriel. Vivendo a Filosofia. 3. ed. São Paulo: Ática, 2006.

DESCARTES. Discurso do Método; Meditações. In: ______. Discurso do método; Meditações; Objeções e respostas; As paixões da alma; Cartas. Tradução J. Guinsburg, Bento Prado Júnior. 2.ed. São Paulo: Abril Cultural, 1979.

MONDIN, Battista. Curso de Filosofia. Tradução Benôni. 11.ed. São Paulo: Paulus, 2009.

REALE, Giovane. Antiseri, Dario. Historia da filosofia: do humanismo a Kant. 7. ed. São Paulo: Paulus, 2005.

VAZ, Duelci Aparecido de Freitas. A Matemática e a Filosofia de René Descartes. 12f.

Universidade Católica de Goiás. Disponível em:<http://www.catalao.ufg.br/mat/revista/ART-017.pdf> . Acesso em: 23 maio 2013.

[s.a]. Análise dos princípios contidos no Livro I do Geometria de Descartes.  XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática, Recife, Brasil, 2011. Disponível em:< http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/1585/submission/review/1585-4053-1-RV.pdf>. Acesso em: 23 maio 2013.